NumPy 教程：线性代数

发布时间：2023-03-21 14:29:10 所属栏目：教程来源：

导读：NumPy 提供了线性代数函数库 linalg，该库包含了线性代数所需的所有功能，可以看看下面的说明：

dot 两个数组的点积，即元素对应相乘

vdot 两个向量的点积

inner 两个数组的内积

matmul 两个数组的矩阵积

NumPy 提供了线性代数函数库 linalg，该库包含了线性代数所需的所有功能，可以看看下面的说明：

dot 两个数组的点积，即元素对应相乘

vdot 两个向量的点积

inner 两个数组的内积

matmul 两个数组的矩阵积

determinant 数组的行列式

solve 求解线性矩阵方程

inv 计算矩阵的乘法逆矩阵

numpy.dot() 函数

对于两个一维的数组，计算的是这两个数组对应下标元素的乘积和(数学上称之为内积)

对于二维数组，计算的是两个数组的矩阵乘积

对于多维数组，它的通用计算公式如下，即结果数组中的每个元素都是：数组a的最后一维上的所有元素与数组b的倒数第二位上的所有元素的乘积和： dot(a,b)[i,j,k,m] = sum(a[i,:] * b[k,:,m])

numpy.dot(a,b,out=None)
参数说明：

a : ndarray 数组

b : ndarray 数组

out : ndarray,可选，用来保存dot()的计算结果

计算式为：

[[1*11+2*13,1*12+2*14],[3*11+4*13,3*12+4*14]]
示例：

In [1]: import numpy.matlib
In [2]: import numpy as np
In [3]: x = np.array([[1,2],[3,4]])
In [4]: y = np.array([[11,12],[13,14]])
In [5]: np.dot(x,y)
Out[5]:
array([[37,40],[85,92]])
numpy.vdot() 函数

是两个向量的点积。如果第一个参数是复数，那么它的共轭复数会用于计算。如果参数是多维数组，它会被展开

计算式为：

1*11 + 2*12 + 3*13 + 4*14 = 130
示例：

In [6]: np.vdot(x,y)
Out[6]: 130
numpy.inner() 函数

返回一维数组的向量内积。对于更高的维度，它返回最后一个轴上的和的乘积

内积计算式为：

1*11+2*12,1*13+2*14
3*11+4*12,3*13+4*14
示例：

In [1]: import numpy as np
In [2]: np.inner(np.array([1,2,3]),np.array([0,1,0]))
Out[2]: 2
In [3]: x = np.array([[1,4]])
In [4]: x
Out[4]:
array([[1,4]])
In [5]: y = np.array([[11,14]])
In [6]: y
Out[6]:
array([[11,14]])
In [7]: np.inner(x,y)
Out[7]:
array([[35,41],[81,95]])
numpy.matmul() 函数

返回两个数组的矩阵乘积。虽然它返回二维数组的正常乘积，但如果任一参数的维数大于2，则将其视为存在于最后两个索引的矩阵的栈，并进行相应广播

另一方面，如果任一参数是一维数组，则通过在其维度上附加 1 来将其提升为矩阵，并在乘法之后被去除，对于二维数组，它就是矩阵乘法

In [1]: import numpy.matlib
In [2]: import numpy as np
In [3]: x = [[1,0],[0,1]]
In [4]: y = [[4,1],[2,2]]
In [5]: x
Out[5]: [[1,1]]
In [6]: y
Out[6]: [[4,2]]
In [7]: np.matmul(x,y)
Out[7]:
array([[4,2]])
二维和一维运算：

In [8]: x
Out[8]: [[1,1]]
In [9]: y = [1,2]
In [10]: y
Out[10]: [1,2]
In [11]: np.matmul(x,y)
Out[11]: array([1,2])
In [12]: np.matmul(y,x)
Out[12]: array([1,2])
维度大于二的数组：

In [13]: x = np.arange(8).reshape(2,2)
In [14]: x
Out[14]:
array([[[0,3]],[[4,5],[6,7]]])
In [15]: y = np.arange(4).reshape(2,2)
In [16]: y
Out[16]:
array([[0,3]])
In [17]: np.matmul(x,y)
Out[17]:
array([[[ 2,3],[ 6,11]],[[10,19],[14,27]]])
numpy.linalg.det() 函数

计算输入矩阵的行列式

行列式在线性代数中是非常有用的值。它从方阵的对角元素计算。对于 2×2 矩阵，它是左上和右下元素的乘积与其他两个的乘积的差

换句话说，对于矩阵[[a，b]，[c，d]]，行列式计算为 ad-bc。较大的方阵被认为是 2×2 矩阵的组合

In [1]: import numpy as np
In [2]: sum = np.array([[1,4]])
In [3]: np.linalg.det(sum)
Out[3]: -2.0000000000000004
In [4]: sum = np.array([[6,[4,-2,8,7]])
In [5]: sum
Out[5]:
array([[ 6,[ 4,[ 2,7]])
In [6]: np.linalg.det(sum)
Out[6]: -306.0
In [7]: 6*(-2*7 - 5*8) - 1*(4*7 - 5*2) + 1*(4*8 - -2*2)
Out[7]: -306
numpy.linalg.solve() 函数

给出了矩阵形式的线性方程的解

考虑以下线性方程：

x + y + z = 6
2y + 5z = -4
2x + 5y - z = 27
如果矩阵成为A、X和B，方程变为：

AX = B
或

X = A^(-1)B
numpy.linalg.inv() 函数

计算矩阵的乘法逆矩阵

逆矩阵 inverse matrix：设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵，E为单位矩阵

In [1]: import numpy as np
In [2]: x = np.array([[1,4]])
In [3]: y = np.linalg.inv(x)
In [4]: x
Out[4]:
array([[1,4]])
In [5]: y
Out[5]:
array([[-2.,1. ],[ 1.5,-0.5]])
In [6]: np.dot(x,y)
Out[6]:
array([[1.0000000e+00,0.0000000e+00],[8.8817842e-16,1.0000000e+00]])
创建一个矩阵A的逆矩阵:

In [1]: import numpy as np
In [2]: a = np.array([[1,5,-1]])
In [3]: a
Out[3]:
array([[ 1,[ 0,-1]])
In [4]: ainv = np.linalg.inv(a)
In [5]: ainv
Out[5]:
array([[ 1.28571429,-0.28571429,-0.14285714],[-0.47619048,0.14285714,0.23809524],[ 0.19047619,-0.0952381 ]])
In [6]: b = np.array([[6],[-4],[27]])
In [7]: b
Out[7]:
array([[ 6],[27]])
In [8]: x = np.linalg.solve(a,b)
In [9]: x
Out[9]:
array([[ 5.],[ 3.],[-2.]])
结果也可以使用 NumPy.dot 函数获取：

x = np.dot(ainv,b)

（编辑：驾考网）

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